Matematika — testy | automate247

01

Štvorec má dĺžku strany 1 dm. Do vnútra tohto štvorca sme narysovali obdĺžnik s rozmermi 5 cm a 7 cm. Náhodne vyberieme bod zo štvorca. Určte ako číslo z intervalu \(\langle 0;1\rangle\) pravdepodobnosť, že to bude zároveň aj bod z obdĺžnika.

Výsledok\(0{,}35\)

Postup

Prevedieme na rovnaké jednotky: \(1\ \text{dm} = 10\ \text{cm}\).
Obsah štvorca: \(S_1 = 10^2 = 100\ \text{cm}^2\).
Obsah obdĺžnika: \(S_2 = 5 \cdot 7 = 35\ \text{cm}^2\).
Pri náhodnom výbere bodu je pravdepodobnosť pomer obsahov: \(P = \frac{S_2}{S_1} = \frac{35}{100} = 0{,}35\).

02

Vypočítajte súčet všetkých kladných členov aritmetickej postupnosti, ktorej prvé tri členy sú \(126,\ 119,\ 112\).

Výsledok\(1\,197\)

Postup

Diferenciácia: \(d = 119 - 126 = -7\).
\(n\)-tý člen: \(a_n = a_1 + (n-1)d = 126 - 7(n-1) = 133 - 7n\).
Hľadáme kladné členy: \(133 - 7n > 0 \Rightarrow n < 19\), teda \(n = 1, 2, \dots, 18\).
Posledný kladný člen: \(a_{18} = 133 - 126 = 7\).
Súčet: \(S_{18} = \frac{18 \cdot (126 + 7)}{2} = 9 \cdot 133 = 1\,197\).

03

Na obrázku je graf funkcie \(f(x)\). Určte maximálnu hodnotu funkcie \(g(x)\), ak \(g(x) = 2f(x+1) - 2\).

Graf funkcie f(x). Maximálna hodnota funkcie je 5.

Výsledok\(8\)

Postup

Z grafu odčítame maximum funkcie \(f\): \(\max f = 5\).
Posun \(f(x+1)\) maximum nemení, iba ho posúva vodorovne — maximum zostáva \(5\).
Násobenie dvomi maximum zdvojnásobí: \(\max\bigl(2f(x+1)\bigr) = 2 \cdot 5 = 10\).
Odčítanie dvoch ho zníži o dva: \(\max g = 10 - 2 = 8\).

04

Dané sú dve priamky \(s: x - 4y - 1 = 0\) a \(t: x - y - 2 = 0\). Vypočítajte v stupňoch veľkosť uhla týchto priamok.

Výsledok\(30{,}96°\)

Postup

Vyjadríme smernice: \(s: y = \frac{x-1}{4} \Rightarrow k_s = \frac{1}{4} = 0{,}25\); \(t: y = x - 2 \Rightarrow k_t = 1\).
Pre uhol dvoch priamok platí \(\tan\varphi = \left|\frac{k_t - k_s}{1 + k_s k_t}\right|\).
Dosadíme: \(\tan\varphi = \left|\frac{1 - 0{,}25}{1 + 0{,}25}\right| = \frac{0{,}75}{1{,}25} = 0{,}6\).
\(\varphi = \arctan 0{,}6 \doteq 30{,}96°\).

05

Máme štatistický súbor čísel \(A = \{5, 7, 6, 7, 8, 7, 6, x\}\). Určte \(x\) tak, aby aritmetický priemer čísel súboru \(A\) bol o 3 väčší ako modus tohto súboru čísel.

Výsledok\(34\)

Postup

Modus je najčastejšia hodnota. Číslo \(7\) sa v súbore vyskytuje trikrát, \(6\) dvakrát — modus je \(7\).
Priemer má byť o 3 väčší: \(\bar{x} = 7 + 3 = 10\).
Súčet známych hodnôt: \(5+7+6+7+8+7+6 = 46\).
\(\frac{46 + x}{8} = 10 \Rightarrow 46 + x = 80 \Rightarrow x = 34\).
Kontrola: hodnota \(34\) je v súbore raz, modus teda zostáva \(7\).

06

Celková dĺžka preklápanej rovnoramennej hojdačky na obrázku je \(2{,}7\) m. Podložka, na ktorej je hojdačka položená, je znázornená prerušovanou čiarou. Určte v metroch vzdialenosť \(v\) sedadla \(A\) od sedadla \(B\) na hojdačke, ak vzdialenosť najvyššej polohy sedadla \(A\) od podložky je o \(\frac{1}{3}\) kratšia ako vzdialenosť najvyššej polohy sedadla \(B\) od tej istej podložky.

Preklápacia rovnoramenná hojdačka. Sedadlá sú označené A a B, prerušovaná čiara znázorňuje podložku.

Výsledok\(0{,}9\) m

Postup

Hojdačka je rovnoramenná, preto je stred otáčania v jej strede a obe ramená majú \(\frac{2{,}7}{2} = 1{,}35\ \text{m}\).
Označme \(h_A\), \(h_B\) vzdialenosti najvyšších polôh sedadiel od podložky. Zo zadania platí \(h_A = \frac{2}{3}\,h_B\), teda \(h_B - h_A = \frac{1}{3}h_B\).
Podľa obrázka je sedadlo \(B\) v najvyššej polohe vo výške \(h_B = 2{,}7\ \text{m}\) nad podložkou (rovná sa celkovej dĺžke hojdačky).
Potom \(h_A = \frac{2}{3}\cdot 2{,}7 = 1{,}8\ \text{m}\).
Hľadaná vzdialenosť je zvislý rozdiel najvyšších polôh oboch sedadiel: \(v = h_B - h_A = 2{,}7 - 1{,}8 = 0{,}9\ \text{m}\).

07

Rozdiel dvoch celých záporných čísel je 10. Súčet ich druhých mocnín je 698. Vypočítajte tieto dve celé záporné čísla a do odpoveďového hárka napíšte väčšie z nich.

Výsledok\(-13\)

Postup

Označme hľadané čísla \(a > b\) (obe záporné). Platí \(a - b = 10\), teda \(a = b + 10\).
Druhá podmienka: \(a^2 + b^2 = 698\). Dosadíme: \((b+10)^2 + b^2 = 698\).
\(b^2 + 20b + 100 + b^2 = 698 \Rightarrow 2b^2 + 20b - 598 = 0 \Rightarrow b^2 + 10b - 299 = 0\).
Diskriminant: \(D = 100 + 4\cdot 299 = 1\,296\); \(\sqrt{D} = 36\).
\(b_{1,2} = \frac{-10 \pm 36}{2} \Rightarrow b_1 = 13,\ b_2 = -23\).
Obidve čísla musia byť záporné, preto \(b = -23\) a \(a = -23 + 10 = -13\).
Väčšie z nich je \(-13\).

08

Na obrázku je trojuholník \(ABC\), v ktorom \(|AB| = 11\), \(|\angle ABC| = 107°\) a \(|\angle CAB| = 52°\). Vypočítajte výšku trojuholníka \(ABC\) na stranu \(AB\).

Trojuholník ABC so stranou AB a výškou na túto stranu.

Výsledok\(23{,}13\)

Postup

Dopočítame tretí uhol: \(\gamma = 180° - 107° - 52° = 21°\).
Podľa sínusovej vety: \(\frac{|AC|}{\sin 107°} = \frac{|AB|}{\sin 21°}\), teda \(|AC| = \frac{11 \cdot \sin 107°}{\sin 21°}\).
Číselne: \(|AC| \doteq \frac{11 \cdot 0{,}9563}{0{,}3584} \doteq 29{,}35\).
Výška na stranu \(AB\): \(v = |AC| \cdot \sin 52° \doteq 29{,}35 \cdot 0{,}7880 \doteq 23{,}13\).

09

Kváder \(ABCDEFGH\) na obrázku vznikol položením piatich zhodných kociek na seba. Určte v stupňoch veľkosť uhla telesovej uhlopriečky kvádra \(ABCDEFGH\) a dolnej podstavy \(ABCD\) tohto kvádra.

Kváder ABCDEFGH vzniknutý položením piatich zhodných kociek na seba.

Výsledok\(74{,}21°\)

Postup

Päť zhodných kociek položených na seba vytvorí kváder s rozmermi \(1 \times 1 \times 5\) (hrana kocky = 1 jednotka).
Telesová uhlopriečka má zvislú zložku \(5\) a vodorovnú zložku rovnajúcu sa uhlopriečke podstavy \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
Uhol \(\alpha\) telesovej uhlopriečky so základňou: \(\tan\alpha = \frac{5}{\sqrt{2}}\).
\(\alpha = \arctan\frac{5}{\sqrt{2}} \doteq \arctan 3{,}5355 \doteq 74{,}21°\).

10

Dané sú funkcie \(f: y = 3x + 1\) a \(g: y = x^2 - 5x\). Určte funkčnú hodnotu zloženej funkcie \(g\bigl(f(x)\bigr)\) v bode \(x = 0\).

Výsledok\(-6\)

Postup

Najprv vnútorná funkcia: \(f(0) = 3 \cdot 0 + 1 = 1\).
Potom vonkajšia funkcia v tomto bode: \(g(1) = 1^2 - 5 \cdot 1 = 1 - 5 = -6\).

11

Obchod Vaša káva predával kilogramový balíček kávy za 40 €. Zákazníkom so zákazníckou kartou predával vtedy kávu so zľavou 20 %. Pred tromi dňami však káva zdražela o 30 % a zároveň zákazníci s kartou už môžu kúpiť kávu iba s 10 % zľavou. Vypočítajte, o koľko viac eur zaplatia teraz za kilogramový balíček kávy zákazníci s kartou ako pred jej zdražením.

Výsledok\(14{,}8\)

Postup

Pôvodná cena pre zákazníka s kartou: \(40 \cdot (1 - 0{,}20) = 40 \cdot 0{,}80 = 32\) €.
Nová základná cena po zdražení o 30 %: \(40 \cdot 1{,}30 = 52\) €.
Nová cena pre zákazníka s kartou: \(52 \cdot (1 - 0{,}10) = 52 \cdot 0{,}90 = 46{,}80\) €.
Rozdiel: \(46{,}80 - 32 = 14{,}80\) €.

12

Daná je funkcia \(f(x) = \frac{4x - 3}{2x + 1}\). Nájdite k nej inverznú funkciu a upravte ju na tvar \(f^{-1}(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\). Do odpoveďového hárka zapíšte hodnotu súčinu \(a \cdot b \cdot c \cdot d\).

Výsledok\(-24\)

Postup

Označíme \(y = \frac{4x - 3}{2x + 1}\) a vynásobíme: \(y(2x + 1) = 4x - 3\).
Roznásobíme: \(2xy + y = 4x - 3\).
Členy s \(x\) na jednu stranu: \(2xy - 4x = -3 - y\).
Vytkneme \(x\): \(x(2y - 4) = -(y + 3)\), teda \(x = \frac{-(y+3)}{2y-4} = \frac{y+3}{4-2y}\).
Zámenou premenných: \(f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{4 - 2x}\), čiže \(a = 1,\ b = 3,\ c = -2,\ d = 4\).
Súčin: \(a \cdot b \cdot c \cdot d = 1 \cdot 3 \cdot (-2) \cdot 4 = -24\).

13

Klára má v krabičke 18 sponiek do vlasov: 10 rôznych jednofarebných sponiek a 8 sponiek s navzájom odlišnými vzormi. Z krabičky na sponky náhodne naraz vybrala dve sponky. Určte ako číslo z intervalu \(\langle 0;1\rangle\) pravdepodobnosť, že obe sponky sú jednofarebné alebo obe sponky sú vzorované.

Výsledok\(0{,}48\)

Postup

Počet všetkých dvojíc: \(\tbinom{18}{2} = \frac{18 \cdot 17}{2} = 153\).
Počet dvojíc jednofarebných: \(\tbinom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45\).
Počet dvojíc vzorovaných: \(\tbinom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28\).
Priaznivé prípady: \(45 + 28 = 73\).
\(P = \frac{73}{153} \doteq 0{,}477 \doteq 0{,}48\).

14

Tuba obsahuje 100 g kožného krému. Podľa návodu na použitie sa na 1 cm² kože nanáša každý deň 1 g krému. Prvý deň krémom ošetríme 30 cm² kože. Plocha, na ktorú krém nanášame, sa vplyvom použitia krému každý deň zmenšuje o jednu pätinu. Zistite, v koľký deň už nebude v tube dostatok krému na natretie celej plochy kože, ktorú je potrebné v ten deň ošetriť.

Výsledok\(5.\) deň

Postup

Plocha ošetrená v \(n\)-tý deň: \(S_n = 30 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}\) cm², spotreba je rovnako veľa gramov.
Celková spotreba za \(n\) dní je súčet geometrického radu: \(S = 30 \cdot \frac{1 - (4/5)^n}{1 - 4/5} = 150\left(1 - (4/5)^n\right)\).
Krému niet dosť, keď spotreba presiahne 100 g: \(150\left(1 - (4/5)^n\right) > 100 \Rightarrow (4/5)^n < \frac{1}{3}\).
Overíme: \((4/5)^4 \doteq 0{,}4096 > 0{,}333\); \((4/5)^5 \doteq 0{,}3277 < 0{,}333\).
Krému niet dosť prvý raz v piaty deň.

15

Marek rysoval podľa tohto postupu:

1. Zostrojte kružnicu \(k(S; 7\ \text{cm})\). 2. Zvoľte bod \(M\) tak, že \(|SM| = 12\ \text{cm}\). 3. Narysujte dotyčnice ku kružnici \(k\), ktoré prechádzajú bodom \(M\). 4. Dotykové body označte \(T_1\) a \(T_2\). 5. Odmerajte veľkosť uhla \(T_1MT_2\).

Vypočítajte v stupňoch veľkosť uhla \(T_1MT_2\), ktorú mal Marek odmerať.

Výsledok\(71{,}37°\)

Postup

Polomer v dotykovom bode je kolmý na dotyčnicu, preto je trojuholník \(ST_1M\) pravouhlý s pravým uhlom pri \(T_1\).
Poznáme \(|ST_1| = 7\) cm (polomer) a \(|SM| = 12\) cm (prepona).
\(\sin \angle T_1MS = \frac{7}{12} \doteq 0{,}5833\), teda \(\angle T_1MS \doteq 35{,}69°\).
Úsečka \(SM\) je os súmernosti oboch dotyčníc, preto \(\angle T_1MT_2 = 2 \cdot 35{,}69° \doteq 71{,}37°\).

16

Číslo \(2\,026_7\) v sedmičkovej sústave zapíšte v desiatkovej sústave.

Výsledok\(706\)

Postup

Rozvinieme podľa mocnín základu \(7\): \(2\,026_7 = 2 \cdot 7^3 + 0 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7^1 + 6 \cdot 7^0\).
\(7^3 = 343\), preto \(2 \cdot 343 = 686\).
\(2 \cdot 7 = 14\) a \(6 \cdot 1 = 6\).
Súčet: \(686 + 0 + 14 + 6 = 706\).

17

Riešte rovnicu \(\sin^2 x - \sin x = 0\) na intervale \(x \in \langle 0; 2\pi\rangle\). Do odpoveďového hárka napíšte počet koreňov tejto rovnice na tomto intervale.

Výsledok\(4\)

Postup

Vytkneme \(\sin x\): \(\sin x\,(\sin x - 1) = 0\).
Súčin je nula, ak \(\sin x = 0\) alebo \(\sin x = 1\).
\(\sin x = 0\) na intervale \(\langle 0; 2\pi\rangle\): \(x = 0,\ \pi,\ 2\pi\) — tri korene.
\(\sin x = 1\) na tom istom intervale: \(x = \frac{\pi}{2}\) — jeden koreň.
Spolu \(3 + 1 = 4\) korene.

18

Objem pravidelného šesťbokého ihlana je \(720\ \text{cm}^3\) a jeho výška je \(6\ \text{cm}\). Vypočítajte v centimetroch dĺžku hrany podstavy tohto ihlana.

Výsledok\(11{,}77\)

Postup

Objem ihlana: \(V = \frac{1}{3} S_p \cdot v\).
Dosadíme: \(720 = \frac{1}{3} S_p \cdot 6 = 2 S_p \Rightarrow S_p = 360\ \text{cm}^2\).
Obsah pravidelného šesťuholníka s hranou \(a\): \(S_p = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\).
\(\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = 360 \Rightarrow a^2 = \frac{240}{\sqrt{3}} = 80\sqrt{3} \doteq 138{,}56\).
\(a = \sqrt{80\sqrt{3}} \doteq 11{,}77\ \text{cm}\).

19

Na stole sú v rade vedľa seba položené gule. Každá ďalšia guľa má o polovicu kratší polomer ako predchádzajúca. Zistite poradové číslo \(n\)-tej gule, pre ktorú platí \(V_n = \frac{1}{512}V_1\), kde \(V_1\) je objem prvej gule s najdlhším polomerom.

Výsledok\(n = 4\)

Postup

Polomer \(n\)-tej gule: \(r_n = \frac{r_1}{2^{\,n-1}}\).
Objem gule je úmerný tretej mocnine polomeru: \(V_n = V_1 \cdot \left(\frac{1}{2^{\,n-1}}\right)^3 = \frac{V_1}{8^{\,n-1}}\).
Podmienka \(\frac{V_1}{8^{\,n-1}} = \frac{V_1}{512}\) dáva \(8^{\,n-1} = 512\).
Keďže \(512 = 8^3\), platí \(n - 1 = 3\), teda \(n = 4\).

20

Daná je priamka \(p: y = ax + 1\). Nájdite \(a > 0\) tak, aby priamka \(p\) bola dotyčnicou kružnice \(k\) so stredom \(S[5; 1]\) a polomerom \(3\).

Výsledok\(0{,}75\)

Postup

Priamku prepíšeme do všeobecného tvaru: \(ax - y + 1 = 0\).
Dotyčnica má od stredu vzdialenosť rovnajúcu sa polomeru: \(\frac{|a \cdot 5 - 1 + 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 3\).
Čitateľ sa zjednoduší: \(|5a| = 5a\) (lebo \(a > 0\)), teda \(\frac{5a}{\sqrt{a^2+1}} = 3\).
Umocníme: \(25a^2 = 9(a^2 + 1) \Rightarrow 16a^2 = 9 \Rightarrow a^2 = \frac{9}{16}\).
Keďže \(a > 0\): \(a = \frac{3}{4} = 0{,}75\).

21

Trieda 4. A má spolu 23 žiakov. Pri záverečnom výpočte vymeškaných hodín triedna zistila, že štyria žiaci vymeškali o 3 hodiny menej, šesť žiakov vymeškalo naopak o 3 hodiny viac, osem žiakov o 1 hodinu viac a dvaja žiaci o 2 hodiny viac ako bol priemerný počet vymeškaných hodín žiakov 4. A. Zostávajúci traja žiaci vymeškali rovnaký počet hodín. Bolo to

(A) o 6 hodín menej(B) o 3 hodiny menej(C) o 4 hodiny viac(D) o 5 hodín viac(E) o 6 hodín viac

Správne(A)

Postup

Nech \(m\) je priemerný počet vymeškaných hodín a \(x\) odchýlka troch zostávajúcich žiakov od priemeru.
Súčet odchýlok od priemeru musí byť nula: \(4\cdot(-3) + 6\cdot(+3) + 8\cdot(+1) + 2\cdot(+2) + 3x = 0\).
\(-12 + 18 + 8 + 4 + 3x = 0 \Rightarrow 18 + 3x = 0 \Rightarrow x = -6\).
Zvyšní traja žiaci vymeškali o 6 hodín menej, než bol priemer — možnosť (A).

22

Obsah podstavy valca je rovnaký ako štvrtina obsahu plášťa tohto valca. Zistite pomer výšky valca a polomeru jeho podstavy.

(A) \(1:1\)(B) \(1:2\)(C) \(2:1\)(D) \(1:4\)(E) \(4:1\)

Správne(C)

Postup

Obsah podstavy: \(S_p = \pi r^2\); obsah plášťa: \(S_{pl} = 2\pi r v\).
Podmienka \(S_p = \frac{1}{4} S_{pl}\) dáva \(\pi r^2 = \frac{1}{4} \cdot 2\pi r v = \frac{\pi r v}{2}\).
Vydelíme \(\pi r\): \(r = \frac{v}{2}\), teda \(v = 2r\).
Pomer výšky a polomeru je \(v : r = 2 : 1\) — možnosť (C).

23

Ktorá z nerovníc má v \(\mathbb{Z}\) množinu koreňov \(\{-2; -1; 0; 1; 2; 3\}\)?

(A) \(|x + 0{,}5| < 3\)(B) \(|x - 0{,}5| < 3\)(C) \(|x - 3| < 0{,}5\)(D) \(|x + 3| < 0{,}5\)(E) \(|x + 3| > 0{,}5\)

Správne(B)

Postup

Hľadaná množina má 6 celých čísel od \(-2\) do \(3\), teda stred intervalu je \(\frac{-2 + 3}{2} = 0{,}5\).
Preto skúšame tvar \(|x - 0{,}5| < 3\).
Riešime: \(-3 < x - 0{,}5 < 3 \Rightarrow -2{,}5 < x < 3{,}5\).
Celé čísla v tomto intervale: \(-2, -1, 0, 1, 2, 3\) — presne zadaná množina.
Možnosť (B) je správna.

24

Súradnice krajných bodov úsečky \(AB\) sú \(A[10; -4]\) a \(B[2; 5]\). Vyberte parametrickú rovnicu priamky \(o\), ktorá je kolmá na úsečku \(AB\) a prechádza jej stredom.

(A) \(x = 6 + 9t;\ y = 0{,}5 + 8t\) (B) \(x = 10 + 9t;\ y = -4 + 8t\) (C) \(x = 2 + 8t;\ y = 5 - 9t\) (D) \(x = 12 + 8t;\ y = 1 - 9t\) (E) \(x = 6 - 8t;\ y = 0{,}5 + 9t\)

Správne(A)

Postup

Stred úsečky: \(S\left[\frac{10+2}{2}; \frac{-4+5}{2}\right] = S[6; 0{,}5]\).
Smerový vektor \(AB\): \(\vec{u} = B - A = (2 - 10;\ 5 - (-4)) = (-8; 9)\).
Kolmý vektor (vymeníme zložky a jednu zmeníme znamienko): \(\vec{v} = (9; 8)\).
Overíme kolmosť: \((-8)\cdot 9 + 9 \cdot 8 = 0\). ✓
Parametrická rovnica: \(x = 6 + 9t,\ y = 0{,}5 + 8t\) — možnosť (A).

25

Kocka \(ABCDEFGH\) má dĺžku hrany 5 cm. Vyberte správny pomer obsahov trojuholníkov \(BGH\) a \(ACH\) zostrojených v kocke \(ABCDEFGH\).

(A) \(\frac{1}{3}\)(B) \(\frac{2}{3}\)(C) \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)(D) \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)(E) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Kocka ABCDEFGH s trojuholníkmi BGH a ACH.

Správne(D)

Postup

Zavedieme súradnice: \(A[0;0;0]\), \(B[5;0;0]\), \(C[5;5;0]\), \(H[0;5;5]\), \(G[5;5;5]\).
Trojuholník \(BGH\): \(|BG| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}\), \(|GH| = 5\), \(|BH| = \sqrt{5^2+5^2+5^2} = 5\sqrt{3}\).
Platí \((5\sqrt{2})^2 + 5^2 = 50 + 25 = 75 = (5\sqrt{3})^2\), takže trojuholník je pravouhlý s pravým uhlom pri \(G\). Obsah: \(S_1 = \frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot 5 = \frac{25\sqrt{2}}{2}\).
Trojuholník \(ACH\): \(|AC| = |CH| = |AH| = 5\sqrt{2}\), je rovnostranný. Obsah: \(S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(5\sqrt{2}\right)^2 = \frac{25\sqrt{3}}{2}\).
Pomer: \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{25\sqrt{2}/2}{25\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\) — možnosť (D).

26

Tretiak Jano povedal: „Ak sa prihlásim na maturitu z biológie a z chémie, prihlášku si podám na medicínu alebo farmáciu.“ V ktorom prípade nesplnil svoje predsavzatie?

(A) Prihlásil sa na biológiu aj chémiu a podal si prihlášku na medicínu aj farmáciu. (B) Prihlásil sa iba na biológiu, nie na chémiu, a podal si prihlášku na medicínu aj farmáciu. (C) Prihlásil sa na biológiu aj chémiu a nepodali si prihlášku ani na medicínu, ani na farmáciu. (D) Prihlásil sa iba na biológiu, nie na chémiu, a nepodali si prihlášku ani na medicínu, ani na farmáciu. (E) Neprihlásil sa ani na biológiu, ani na chémiu, a podal si prihlášku na medicínu, nie na farmáciu.

Správne(C)

Postup

Výrok má tvar implikácie \((B \wedge C) \Rightarrow (M \vee F)\), kde \(B\) = biológia, \(C\) = chémia, \(M\) = medicína, \(F\) = farmácia.
Implikácia je nepravdivá práve vtedy, keď je predpoklad pravdivý a záver nepravdivý.
Predpoklad pravdivý: prihlásil sa na biológiu aj chémiu.
Záver nepravdivý: nepodali si prihlášku ani na medicínu, ani na farmáciu.
To je presne možnosť (C).

27

Na obrázku je graf funkcie \(f(x)\). Koľko riešení má rovnica \(f(x) = 1{,}5\) na intervale \(\langle -\pi; 2\pi\rangle\)?

(A) 0(B) 2(C) 4(D) 6(E) 8

Graf funkcie f(x) na intervale od −2π do 2π.

Správne(D)

Postup

Rovnicu \(f(x) = 1{,}5\) riešime graficky: hľadáme priesečníky grafu funkcie \(f\) s vodorovnou priamkou \(y = 1{,}5\).
Na obrázku zostrojíme priamku \(y = 1{,}5\) (vodorovná čiara vo výške \(1{,}5\)).
Na intervale \(\langle -\pi; 2\pi\rangle\) pretína táto priamka graf v šiestich bodoch.
Rovnica má preto 6 riešení — možnosť (D).

28

Reštaurácia nakúpila v pondelok \(x\) kg kuracieho mäsa za \(2{,}20\) € za kg. V utorok kuracie mäso zlacnelo o \(y\) € za kg. Koľko kg mäsa mohla reštaurácia nakúpiť za tú istú sumu, ak by nakupovala v utorok?

(A) \(\frac{2{,}2xy - 2{,}2x}{2{,}2 - y}\) (B) \(\frac{2{,}2x}{2{,}2 - y}\) (C) \(\frac{xy}{2{,}2 - y}\) (D) \(\frac{2{,}2x - 2{,}2xy}{2{,}2 - y}\) (E) \(\frac{xy}{y - 2{,}2}\)

Správne(B)

Postup

Suma, ktorú reštaurácia minula v pondelok: \(2{,}2 \cdot x\) €.
Cena v utorok za kilogram: \(2{,}2 - y\) €.
Množstvo za tú istú sumu: \(\frac{2{,}2x}{2{,}2 - y}\) — možnosť (B).

29

Vypočítajte objem gule opísanej kocke, ak objem gule vpísanej do tejto kocky je \(\frac{256}{3}\pi\).

(A) \(28\pi\sqrt{3}\)(B) \(32\pi\sqrt{3}\)(C) \(64\pi\sqrt{3}\)(D) \(128\pi\sqrt{3}\)(E) \(256\pi\sqrt{3}\)

Správne(E)

Postup

Guli vpísanej do kocky s hranou \(a\) je polomer \(r = \frac{a}{2}\).
Objem vpísanej gule: \(\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{\pi a^3}{6} = \frac{256\pi}{3}\).
Odtiaľ \(a^3 = 512\), teda \(a = 8\) cm.
Guli opísanej kocke je polomer \(R = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\).
Objem opísanej gule: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \left(4\sqrt{3}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 192\sqrt{3} = 256\pi\sqrt{3}\) — možnosť (E).

30

Nech \(\log_a 5 = t\) a \(\log_a 2 = s\). Vyjadrite číslo \(\log_{10} 2\,000\) pomocou premenných \(t\) a \(s\).

(A) \(\frac{s + 3t}{t + s}\) (B) \(s + t\) (C) \(\frac{4s + 3t}{s + t}\) (D) \(\frac{t}{s}\) (E) \(t \cdot s\)

Správne(C)

Postup

Prejdeme k základu \(a\): \(\log_{10} 2\,000 = \frac{\log_a 2\,000}{\log_a 10}\).
Rozklad čísla: \(2\,000 = 2^4 \cdot 5^3 = 16 \cdot 125\).
Preto \(\log_a 2\,000 = \log_a 2^4 + \log_a 5^3 = 4\log_a 2 + 3\log_a 5 = 4s + 3t\).
\(\log_a 10 = \log_a (2 \cdot 5) = \log_a 2 + \log_a 5 = s + t\).
Spolu: \(\log_{10} 2\,000 = \frac{4s + 3t}{s + t}\) — možnosť (C).

Matematika
test 26 1447

O teste

Nerozumieš niektorému pojmu?

O načrtoch v zadaní