Matematika Prehľad Testy Teória
Matematika · teória

Teória
a vzorce

Všetky pojmy, ktoré sa v maturitnom teste objavujú — vysvetlené ľudsky, so vzorcami a so vzorovým príkladom vyriešeným krok za krokom.

Prejsť na testy Informatika

Ako túto časť používať

Každý pojem má tri časti: čo to je (definícia), na čo to slúži (kde sa to v teste použije) a vzorce s vzorovým príkladom. Príklad je vždy vyriešený krok za krokom, aby si videl, ako sa vzorec naozaj používa.

Ak si niektorý pojem nepamätáš, nájdi ho vyhľadávaním nižšie alebo klikni na jeho názov v obsahu. Vzorce sú vysádzané tak, ako majú byť — so zlomkami, mocninami a odmocninami.

Nájdi pojem

Napíš napríklad logaritmus, sínusová veta alebo objem.

Zobrazených 44 pojmov
Čísla a výrazy
Mocnina Odmocnina Zlomok a úprava výrazov Absolútna hodnota Percentá Logaritmus Pravidlá pre logaritmy
Funkcie
Funkcia Definičný obor a obor hodnôt Lineárna funkcia Kvadratická funkcia Nepriama úmernosť Inverzná funkcia Exponenciálna funkcia
Rovnice a nerovnice
Lineárna rovnica Kvadratická rovnica a diskriminant Viètove vzorce Sústava rovníc Lineárna nerovnica Goniometrická rovnica
Postupnosti a rady
Aritmetická postupnosť Geometrická postupnosť Nekonečný geometrický rad
Planimetria a trigonometria
Pytagorova veta Obsahy a obvody rovinných útvarov Podobnosť trojuholníkov Goniometrické funkcie v pravouhlom trojuholníku Sínusová veta Kosínusová veta Oblúková miera (radiány)
Stereometria
Objem a povrch telies Telesová uhlopriečka a uhol v priestore
Analytická geometria
Vzdialenosť bodov a stred úsečky Smernica a rovnica priamky Uhol dvoch priamok Vzdialenosť bodu od priamky Kružnica a dotyčnica
Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika
Faktoriál Kombinačné číslo Variácie, kombinácie a permutácie Pravdepodobnosť Aritmetický priemer Medián a modus Rozptyl a smerodajná odchýlka
Pre tento výraz sa nenašiel žiadny pojem. Skús napísať len časť slova.
Čísla a výrazy

Mocnina

Čísla a výrazy

Čo to je

Mocnina \(a^n\) je súčin \(n\) rovnakých činiteľov \(a\). Číslo \(a\) sa nazýva základ (mocnenec), číslo \(n\) exponent. Exponent môže byť aj záporný alebo nulový.

Na čo to slúži

Skracuje zápis veľkých súčinov a čísel (napr. \(10^6\) namiesto \(1\,000\,000\)). Používa sa pri úpravách výrazov, vo vzorcoch pre obsahy a objemy, v exponenciálnych funkciách aj v logaritmoch.

Vzorce

\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]
\[\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\]
\[\left(a^m\right)^n = a^{m\cdot n}\]
\[(a\cdot b)^n = a^n\cdot b^n\]
\[a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\]
\[a^0 = 1 \quad (a \neq 0)\]
Vzorový príklad

Zjednodušte výraz \(\frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{2^2}\).

  1. Súčin v čitateli: \(2^5 \cdot 2^{-3} = 2^{5+(-3)} = 2^2\).
  2. Predelíme: \(\frac{2^2}{2^2} = 2^{2-2} = 2^0 = 1\).
  3. Výsledok je \(1\).

Odmocnina

Čísla a výrazy

Čo to je

\(n\)-tá odmocnina \(\sqrt[n]{a}\) je také nezáporné číslo \(b\), pre ktoré platí \(b^n = a\). Druhá odmocnina \(\sqrt{a}\) je len skrátený zápis \(\sqrt[2]{a}\).

Na čo to slúži

Používa sa pri riešení kvadratických rovníc, v Pytagorovej vete, pri výpočte vzdialeností a uhlopriečok a pri úpravách výrazov do jednoduchšieho tvaru.

Vzorce

\[\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}\]
\[\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\]
\[\sqrt{a^2} = |a|\]
\[\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\]
\[\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}\]
Vzorový príklad

Zjednodušte \(\sqrt{50} + \sqrt{18}\).

  1. Rozložíme na súčin, v ktorom je druhá mocnina: \(50 = 25\cdot 2\), \(18 = 9\cdot 2\).
  2. \(\sqrt{50} = \sqrt{25}\cdot\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\),   \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
  3. Sčítame: \(5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \doteq 11{,}31\).

Zlomok a úprava výrazov

Čísla a výrazy

Čo to je

Zlomok \(\frac{a}{b}\) vyjadruje podiel čísel alebo výrazov \(a\) a \(b\) (\(b \neq 0\)). Čitateľ je hore, menovateľ dole.

Na čo to slúži

Zlomky sa používajú všade tam, kde počítame časť celku — pri pravdepodobnosti, percentách, priemernej hodnote, ale aj pri úpravách algebraických výrazov pred dosadením.

Vzorce

\[\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d} = \dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}\]
\[\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}\]
\[\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a\cdot d + b\cdot c}{b\cdot d}\]
\[\dfrac{a\cdot c}{b\cdot c} = \dfrac{a}{b}\]
Vzorový príklad

Upravte výraz \(\frac{x^2 - 9}{x + 3}\) pre \(x \neq -3\).

  1. Čitateľ je rozdiel druhých mocnín: \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\).
  2. Dosadíme: \(\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}\).
  3. Skrátíme spoločný činiteľ \((x+3)\): výsledok je \(x - 3\).

Absolútna hodnota

Čísla a výrazy

Čo to je

Absolútna hodnota \(|a|\) je vzdialenosť čísla \(a\) od nuly na číselnej osi. Nikdy nie je záporná.

Na čo to slúži

Vyjadruje vzdialenosť bez ohľadu na smer — používa sa pri rovniciach a nerovniciach s absolútnou hodnotou, pri odchýlkach a pri určovaní vzdialenosti bodu od priamky.

Vzorce

\[|a| = a \quad \text{pre } a \geq 0\]
\[|a| = -a \quad \text{pre } a < 0\]
\[|a\cdot b| = |a|\cdot|b|\]
\[\sqrt{a^2} = |a|\]
\[|a| \geq 0\]
Vzorový príklad

Riešte rovnicu \(|2x - 6| = 4\).

  1. Výraz v absolútnej hodnote sa rovná \(4\) alebo \(-4\).
  2. Prvá možnosť: \(2x - 6 = 4 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5\).
  3. Druhá možnosť: \(2x - 6 = -4 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1\).
  4. Množina riešení je \(K = \{1;\ 5\}\).

Percentá

Čísla a výrazy

Čo to je

Jedno percento je jedna stotina celku: \(1\,\% = \frac{1}{100} = 0{,}01\). Základ je celok, z ktorého počítame, percentová časť je jeho zlomok.

Na čo to slúži

Používajú sa pri zľavách, zdražovaní, úrokoch, štatistike a pri úlohách o zmenách hodnôt (nárast alebo pokles o \(p\,\%\)).

Vzorce

\[p\,\% = \dfrac{p}{100}\]
\[\text{časť} = \text{základ}\cdot\dfrac{p}{100}\]
\[\text{základ} = \dfrac{\text{časť}}{p/100}\]
\[\text{nová hodnota} = \text{stará}\cdot\left(1 \pm \dfrac{p}{100}\right)\]
Vzorový príklad

Cena výrobku \(80\) € sa zvýši o \(15\,\%\). Aká bude nová cena?

  1. Zvýšenie o \(15\,\%\) znamená násobenie číslom \(1 + \frac{15}{100} = 1{,}15\).
  2. Nová cena: \(80 \cdot 1{,}15 = 92\) €.
  3. Samotné zdraženie je \(12\) €.

Logaritmus

Čísla a výrazy

Čo to je

Logaritmus \(\log_a x\) je exponent, na ktorý musíme umocniť základ \(a\), aby sme dostali číslo \(x\). Logaritmus je teda inverzná operácia k umocňovaniu.

Na čo to slúži

Používa sa na riešenie exponenciálnych rovníc (neznáma je v exponente), na prácu s číslami, ktoré rastú veľmi rýchlo, a v praxi pri pH, decibeloch, Richterovej stupnici alebo pri úročení.

Vzorce

\[\log_a x = y \iff a^{y} = x\]
\[\log_a 1 = 0, \quad \log_a a = 1\]
\[a^{\log_a x} = x\]
\[\text{podmienky: } a > 0,\ a \neq 1,\ x > 0\]
\[\log_{10} x = \log x, \quad \log_{e} x = \ln x\]
Vzorový príklad

Vypočítajte \(\log_2 32\) a \(\log_3 \frac{1}{9}\).

  1. Hľadáme exponent: \(2^{y} = 32\). Keďže \(32 = 2^5\), platí \(\log_2 32 = 5\).
  2. Druhý príklad: \(3^{y} = \frac{1}{9} = 3^{-2}\), preto \(\log_3 \frac{1}{9} = -2\).
  3. Logaritmus čísla menšieho ako \(1\) (pri základe väčšom ako \(1\)) je vždy záporný.

Pravidlá pre logaritmy

Čísla a výrazy

Čo to je

Logaritmus premení násobenie na sčítanie, delenie na odčítanie a umocňovanie na násobenie. Práve preto sa hodí na úpravu zložitých výrazov.

Na čo to slúži

Pomocou týchto pravidiel vieme výraz s logaritmami rozpísať, zlúčiť alebo prepísať do iného základu — napríklad keď potrebujeme počítať s kalkulačkou, ktorá má iba \(\log\) a \(\ln\).

Vzorce

\[\log_a (x\cdot y) = \log_a x + \log_a y\]
\[\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\]
\[\log_a x^{n} = n\cdot \log_a x\]
\[\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}\]
\[\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\]
Vzorový príklad

Nech \(\log_a 2 = s\) a \(\log_a 5 = t\). Vyjadrite \(\log_{10} 2\,000\) pomocou \(s\) a \(t\).

  1. Prejdeme k základu \(a\): \(\log_{10} 2\,000 = \frac{\log_a 2\,000}{\log_a 10}\).
  2. Rozložíme číslo: \(2\,000 = 2^4 \cdot 5^3\).
  3. \(\log_a 2\,000 = 4\log_a 2 + 3\log_a 5 = 4s + 3t\).
  4. \(\log_a 10 = \log_a 2 + \log_a 5 = s + t\).
  5. Spolu: \(\log_{10} 2\,000 = \frac{4s + 3t}{s + t}\).
Funkcie

Funkcia

Funkcie

Čo to je

Funkcia je predpis, ktorý každému číslu \(x\) z definičného oboru priradí práve jedno číslo \(y\). Zapisujeme \(f: y = f(x)\).

Na čo to slúži

Funkciou sa opisujú závislosti — ako sa mení cena podľa množstva, dráha podľa času, teplota podľa dňa. Graf funkcie je najrýchlejší spôsob, ako závislosť prečítať.

Vzorce

\[f: y = f(x), \quad x \in D(f)\]
\[\text{graf} = \left\{[x;\, f(x)] \;;\; x \in D(f)\right\}\]
\[\text{bod } [a;b] \text{ leží na grafe} \iff f(a) = b\]
Vzorový príklad

Daná je funkcia \(f(x) = 2x - 1\). Určte \(f(3)\) a zistite, či bod \([5;\,9]\) leží na jej grafe.

  1. Dosadíme: \(f(3) = 2\cdot 3 - 1 = 5\).
  2. Bod leží na grafe práve vtedy, keď \(f(5) = 9\).
  3. \(f(5) = 2\cdot 5 - 1 = 9\), teda bod \([5;\,9]\) na grafe leží.

Definičný obor a obor hodnôt

Funkcie

Čo to je

Definičný obor \(D(f)\) je množina všetkých čísel \(x\), ktoré smieme do predpisu dosadiť. Obor hodnôt \(H(f)\) je množina všetkých hodnôt, ktoré funkcia naozaj nadobudne.

Na čo to slúži

Bez určenia definičného oboru by výpočet nemusel mať zmysel — napríklad delenie nulou alebo odmocnina zo záporného čísla. V úlohách sa na to pýtajú veľmi často.

Vzorce

\[\text{zlomok: menovateľ} \neq 0\]
\[\text{odmocnina: výraz pod odmocninou} \geq 0\]
\[\text{logaritmus: argument} > 0\]
\[\text{tangens: } x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\]
Vzorový príklad

Určte definičný obor funkcie \(f(x) = \frac{1}{x - 2} + \sqrt{x + 3}\).

  1. Zlomok: \(x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\).
  2. Odmocnina: \(x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3\).
  3. Obe podmienky naraz: \(D(f) = \langle -3;\, \infty) \setminus \{2\}\).

Lineárna funkcia

Funkcie

Čo to je

Lineárna funkcia má tvar \(f: y = kx + q\). Číslo \(k\) je smernica (ako strmo priamka rastie), číslo \(q\) je priesečník grafu s osou \(y\). Grafom je priamka.

Na čo to slúži

Opisuje rovnomerný rast alebo pokles — napríklad cenu podľa počtu kusov, dráhu pri stálej rýchlosti alebo náklady s pevnou zložkou.

Vzorce

\[f: y = kx + q\]
\[k > 0 \Rightarrow \text{funkcia rastie}\]
\[k < 0 \Rightarrow \text{funkcia klesá}\]
\[k = 0 \Rightarrow \text{konštantná funkcia}\]
\[k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
Vzorový príklad

Daná je funkcia \(f: y = -2x + 5\). Určte, kde pretína os \(x\), a či rastie alebo klesá.

  1. Priesečník s osou \(x\): \(y = 0 \Rightarrow -2x + 5 = 0 \Rightarrow x = 2{,}5\).
  2. Priesečník s osou \(y\): \(x = 0 \Rightarrow y = 5\).
  3. Keďže \(k = -2 < 0\), funkcia klesá.

Kvadratická funkcia

Funkcie

Čo to je

Kvadratická funkcia má tvar \(f: y = ax^2 + bx + c\), kde \(a \neq 0\). Grafom je parabola; pre \(a > 0\) je otvorená nahor, pre \(a < 0\) nadol.

Na čo to slúži

Opisuje voľný pád, dráhu telesa, plochu pri danom obvode, zisk v závislosti od ceny. Vrchol paraboly udáva najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie.

Vzorce

\[f: y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0\]
\[V = \left[-\dfrac{b}{2a}; \; c - \dfrac{b^2}{4a}\right]\]
\[x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
Vzorový príklad

Nájdite vrchol paraboly \(y = x^2 - 4x + 3\) a jej priesečníky s osou \(x\).

  1. \(a = 1,\ b = -4,\ c = 3\).
  2. \(x\)-ová súradnica vrcholu: \(-\frac{b}{2a} = \frac{4}{2} = 2\).
  3. \(y\)-ová súradnica: \(y = 2^2 - 4\cdot 2 + 3 = -1\). Vrchol je \(V[2;\,-1]\).
  4. Priesečníky s osou \(x\): \(x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 1,\ x = 3\).

Nepriama úmernosť

Funkcie

Čo to je

Nepriama úmernosť je funkcia \(f: y = \frac{k}{x}\), kde \(k \neq 0\). Súčin \(x \cdot y = k\) je stále rovnaký. Grafom je hyperbola.

Na čo to slúži

Používa sa pri úlohách, kde platí „čím viac, tým menej“ — napríklad čím viac pracovníkov, tým kratší čas, alebo čím väčšia rýchlosť, tým menší čas na tej istej trase.

Vzorce

\[y = \dfrac{k}{x}, \quad x \neq 0, \ k \neq 0\]
\[x \cdot y = k\]
\[D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}\]
\[H(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}\]
Vzorový príklad

Funkcia \(y = \frac{12}{x}\). Určte \(y\) pre \(x = 3\) a nájdite \(x\), ak \(y = 8\).

  1. Dosadíme \(x = 3\): \(y = \frac{12}{3} = 4\).
  2. Rovnicu \(8 = \frac{12}{x}\) vynásobíme \(x\): \(8x = 12\).
  3. \(x = \frac{12}{8} = 1{,}5\).

Inverzná funkcia

Funkcie

Čo to je

Inverzná funkcia \(f^{-1}\) „odkrúca“ pôvodnú funkciu: ak platí \(f(a) = b\), potom \(f^{-1}(b) = a\). Vznikne zámenou premennej \(x\) a \(y\).

Na čo to slúži

Umožňuje vrátiť sa od výsledku späť k vstupu — napríklad z ceny späť na množstvo, z teploty na čas. Grafy \(f\) a \(f^{-1}\) sú súmerné podľa priamky \(y = x\).

Vzorce

\[y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)\]
\[\left(f^{-1}\right)^{-1} = f\]
\[f\left(f^{-1}(x)\right) = x, \quad f^{-1}\left(f(x)\right) = x\]
Vzorový príklad

Nájdite inverznú funkciu k funkcii \(f(x) = \frac{4x - 3}{2x + 1}\).

  1. Označíme \(y = \frac{4x - 3}{2x + 1}\) a vynásobíme menovateľom: \(y(2x + 1) = 4x - 3\).
  2. Roznásobíme: \(2xy + y = 4x - 3\). Členy s \(x\) doľava: \(2xy - 4x = -y - 3\).
  3. Vytkneme \(x\): \(x(2y - 4) = -(y + 3)\), teda \(x = \frac{-(y+3)}{2y - 4} = \frac{y + 3}{4 - 2y}\).
  4. Zameníme premenné: \(f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{4 - 2x}\), čiže \(a = 1,\ b = 3,\ c = -2,\ d = 4\).

Exponenciálna funkcia

Funkcie

Čo to je

Exponenciálna funkcia má tvar \(f: y = a^{x}\), kde \(a > 0\) a \(a \neq 1\). Neznáma je v exponente.

Na čo to slúži

Opisuje prudký rast alebo pokles — množenie baktérií, rádioaktívny rozpad, úroky, infláciu. Na jej riešenie sa používa logaritmus.

Vzorce

\[y = a^{x}, \quad a > 0,\ a \neq 1\]
\[a > 1 \Rightarrow \text{funkcia rastie}\]
\[0 < a < 1 \Rightarrow \text{funkcia klesá}\]
\[a^{x} = b \Rightarrow x = \log_a b\]
Vzorový príklad

Riešte rovnicu \(3^{x} = 81\).

  1. Prepíšeme \(81\) ako mocninu základu \(3\): \(81 = 3^{4}\).
  2. Keďže sú základy rovnaké, musia sa rovnať exponenty: \(x = 4\).
  3. Kontrola: \(3^{4} = 81\). ✓
Rovnice a nerovnice

Lineárna rovnica

Rovnice a nerovnice

Čo to je

Lineárna rovnica s jednou neznámou má tvar \(ax + b = 0\), kde \(a \neq 0\). Riešime ju ekvivalentnými úpravami, ktoré nemenia množinu riešení.

Na čo to slúži

Základ všetkých výpočtov — od jednoduchých slovných úloh až po sústavu rovníc. Vždy sa snažíme neznámu osamostatniť na jednej strane.

Vzorce

\[ax + b = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{b}{a}, \quad a \neq 0\]
\[\text{pripočítanie/odčítanie rovnakého čísla}\]
\[\text{násobenie/delenie nenulovým číslom}\]
Vzorový príklad

Riešte rovnicu \(3x - 7 = 5\).

  1. K obom stranám pripočítame \(7\): \(3x = 12\).
  2. Obidve strany vydelíme \(3\): \(x = 4\).
  3. Skúška: \(3\cdot 4 - 7 = 5\). ✓

Kvadratická rovnica a diskriminant

Rovnice a nerovnice

Čo to je

Kvadratická rovnica má tvar \(ax^2 + bx + c = 0\), kde \(a \neq 0\). O počte riešení rozhoduje diskriminant \(D = b^2 - 4ac\).

Na čo to slúži

Rieši sa ňou väčšina úloh o parabola, plochách, dráhach a optimalizácii. Diskriminant vopred povie, či rovnica má dva, jeden alebo žiadny reálny koreň.

Vzorce

\[ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0\]
\[D = b^2 - 4ac\]
\[x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[D > 0 \Rightarrow 2 \text{ korene}, \quad D = 0 \Rightarrow 1 \text{ koreň}, \quad D < 0 \Rightarrow \text{žiadny reálny koreň}\]
Vzorový príklad

Riešte rovnicu \(x^2 - 2x - 15 = 0\).

  1. \(a = 1,\ b = -2,\ c = -15\).
  2. \(D = (-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\).
  3. \(\sqrt{D} = 8\), teda \(x_{1,2} = \frac{2 \pm 8}{2}\).
  4. \(x_1 = \frac{10}{2} = 5\),   \(x_2 = \frac{-6}{2} = -3\).

Viètove vzorce

Rovnice a nerovnice

Čo to je

Viètove vzorce vyjadrujú súčet a súčin koreňov kvadratickej rovnice priamo z koeficientov — bez toho, aby sme korene počítali.

Na čo to slúži

Hodia sa na rýchlu kontrolu vypočítaných koreňov, na zostavenie rovnice s danými koreňmi a na úlohy, kde sa pýtajú na súčet alebo súčin koreňov.

Vzorce

\[x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\]
\[x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}\]
\[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0\]
Vzorový príklad

Bez riešenia rovnice \(2x^2 - 10x + 8 = 0\) určte súčet a súčin jej koreňov.

  1. \(a = 2,\ b = -10,\ c = 8\).
  2. Súčet: \(x_1 + x_2 = -\frac{-10}{2} = 5\).
  3. Súčin: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{8}{2} = 4\).
  4. Kontrola: korene sú \(1\) a \(4\); \(1+4 = 5\), \(1\cdot 4 = 4\). ✓

Sústava rovníc

Rovnice a nerovnice

Čo to je

Sústava rovníc je skupina rovníc, ktoré musia platiť súčasne. Riešením je taká usporiadaná dvojica \([x;\,y]\), ktorá vyhovuje všetkým rovniciam.

Na čo to slúži

Používa sa pri slovných úlohách s dvomi neznámymi — napríklad koľko kusov od každého druhu, aké rýchlosti dvoch telies, aké rozmery obdĺžnika.

Vzorce

\[\text{dosadzovacia metóda: z jednej rovnice vyjadríme } x \text{ a dosadíme do druhej}\]
\[\text{sčítacia metóda: rovnice vhodne vynásobíme a sčítame}\]
\[\text{grafické riešenie: priesečník dvoch priamok}\]
Vzorový príklad

Riešte sústavu \(x + y = 7\) a \(x - y = 1\).

  1. Sčítame obe rovnice: \((x+y) + (x-y) = 7 + 1 \Rightarrow 2x = 8\).
  2. \(x = 4\).
  3. Dosadíme do prvej: \(4 + y = 7 \Rightarrow y = 3\).
  4. Riešenie je \([4;\,3]\). Skúška v druhej rovnici: \(4 - 3 = 1\). ✓

Lineárna nerovnica

Rovnice a nerovnice

Čo to je

Nerovnica je zápis, v ktorom namiesto znamienka \(=\) je jedno zo znamienok \(<,\ \leq,\ >,\ \geq\). Riešením je interval, nie jedno číslo.

Na čo to slúži

Používa sa pri podmienkach úloh — kedy je výraz kladný, kedy má zmysel, aké hodnoty môže neznáma nadobudnúť.

Vzorce

\[ax + b > 0\]
\[\text{delenie/násobenie záporným číslom obracia znamienko}\]
\[\text{riešenie zapisujeme ako interval, napr. } x \in (-\infty;\,5)\]
Vzorový príklad

Riešte nerovnicu \(2x - 3 < 7\).

  1. Pripočítame \(3\): \(2x < 10\).
  2. Delíme kladným číslom \(2\) — znamienko sa nemení: \(x < 5\).
  3. Riešenie: \(x \in (-\infty;\,5)\).

Goniometrická rovnica

Rovnice a nerovnice

Čo to je

Goniometrická rovnica obsahuje neznámu v argumente goniometrickej funkcie (\(\sin\), \(\cos\), \(\tan\)). Keďže sú tieto funkcie periodické, riešení býva nekonečne veľa.

Na čo to slúži

Riešia sa ňou úlohy s kmitaním, vlnením, striedavým prúdom a úlohy o uhloch. Na obmedzenom intervale (napr. \(\langle 0;\,2\pi\rangle\)) hľadáme len riešenia z tohto intervalu.

Vzorce

\[\sin x = a \Rightarrow x = \arcsin a + 2k\pi \ \text{ alebo } \ x = \pi - \arcsin a + 2k\pi\]
\[\cos x = a \Rightarrow x = \pm\arccos a + 2k\pi\]
\[\tan x = a \Rightarrow x = \arctan a + k\pi\]
\[k \in \mathbb{Z}\]
Vzorový príklad

Riešte rovnicu \(\sin^2 x - \sin x = 0\) na intervale \(\langle 0;\,2\pi\rangle\).

  1. Vytkneme \(\sin x\): \(\sin x\,(\sin x - 1) = 0\).
  2. Prvá možnosť: \(\sin x = 0 \Rightarrow x = 0,\ \pi,\ 2\pi\).
  3. Druhá možnosť: \(\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}\).
  4. Na danom intervale má rovnica \(4\) riešenia.
Postupnosti a rady

Aritmetická postupnosť

Postupnosti a rady

Čo to je

Aritmetická postupnosť je postupnosť, v ktorej sa každý nasledujúci člen zväčší (alebo zmenší) o to isté číslo \(d\) — diferenciu.

Na čo to slúži

Opisuje rovnomerný rast alebo pokles — pravidelné sporenie, rovnomerne sa zvyšujúcu mzdu, odpočítavanie. Používa sa aj v úlohách o súčtoch dlhých radov čísel.

Vzorce

\[a_{n} = a_1 + (n-1)\,d\]
\[d = a_{n+1} - a_{n}\]
\[s_n = \dfrac{n}{2}\,(a_1 + a_n)\]
\[s_n = \dfrac{n}{2}\,\left(2a_1 + (n-1)d\right)\]
Vzorový príklad

Prvé tri členy postupnosti sú \(126,\ 119,\ 112\). Vypočítajte súčet všetkých kladných členov.

  1. Diferenciácia: \(d = 119 - 126 = -7\).
  2. \(n\)-tý člen: \(a_n = 126 - 7(n-1) = 133 - 7n\).
  3. Kladné členy: \(133 - 7n > 0 \Rightarrow n < 19\), teda \(n = 1, 2, \dots, 18\).
  4. Posledný kladný člen: \(a_{18} = 133 - 126 = 7\).
  5. Súčet: \(s_{18} = \frac{18\cdot(126 + 7)}{2} = 9\cdot 133 = 1\,197\).

Geometrická postupnosť

Postupnosti a rady

Čo to je

Geometrická postupnosť je postupnosť, v ktorej sa každý nasledujúci člen dostane vynásobením predchádzajúceho tým istým číslom \(q\) — kvocientom.

Na čo to slúži

Opisuje prudké zmeny — zdvojnásobovanie, úročenie, rádioaktívny rozpad, rast populácie. V úlohách sa často pýta na súčet niekoľkých členov.

Vzorce

\[a_{n} = a_1 \cdot q^{\,n-1}\]
\[q = \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\]
\[s_n = a_1 \cdot \dfrac{q^{\,n} - 1}{q - 1}, \quad q \neq 1\]
\[s_n = n\cdot a_1, \quad q = 1\]
Vzorový príklad

V geometrickej postupnosti je \(a_1 = 3\) a \(q = 2\). Určte \(a_6\) a súčet prvých šiestich členov.

  1. \(a_6 = a_1 \cdot q^{5} = 3 \cdot 2^{5} = 3\cdot 32 = 96\).
  2. Súčet: \(s_6 = 3\cdot\frac{2^{6} - 1}{2 - 1} = 3\cdot 63 = 189\).
  3. Kontrola: \(3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189\). ✓

Nekonečný geometrický rad

Postupnosti a rady

Čo to je

Nekonečný geometrický rad je súčet \(a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \dots\). Ak je \(|q| < 1\), členy sa zmenšujú a súčet sa blíži ku konečnému číslu — rad konverguje.

Na čo to slúži

Používa sa napríklad pri prevode periodického desatinného čísla na zlomok alebo pri úlohách o opakovanom zmenšovaní (napr. vždy polovica zvyšku).

Vzorce

\[s = \dfrac{a_1}{1 - q} \quad \text{pre } |q| < 1\]
\[|q| \geq 1 \Rightarrow \text{rad diverguje (súčet neexistuje)}\]
Vzorový príklad

Vypočítajte súčet radu \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots\)

  1. \(a_1 = 1\), \(q = \frac{1}{2}\). Keďže \(|q| < 1\), rad konverguje.
  2. Dosadíme do vzorca: \(s = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\).
  3. Súčet radu je \(2\).
Planimetria a trigonometria

Pytagorova veta

Planimetria a trigonometria

Čo to je

V pravouhlom trojuholníku platí, že súčet obsahov štvorcov nad oboma odvesnami sa rovná obsahu štvorca nad preponou: \(c^2 = a^2 + b^2\).

Na čo to slúži

Pomocou nej sa počíta tretia strana pravouhlého trojuholníka, vzdialenosť dvoch bodov, telesová uhlopriečka kvádra alebo výška v rovine. Je základom aj pre sínusovú a kosínusovú vetu.

Vzorce

\[c^2 = a^2 + b^2\]
\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]
\[a = \sqrt{c^2 - b^2}\]
\[\text{platí len v pravouhlom trojuholníku}\]
Vzorový príklad

Odvesny pravouhlého trojuholníka majú dĺžky \(9\) cm a \(12\) cm. Vypočítajte preponu.

  1. \(c^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\).
  2. \(c = \sqrt{225} = 15\) cm.
  3. Prepona meria \(15\) cm.

Obsahy a obvody rovinných útvarov

Planimetria a trigonometria

Čo to je

Obsah \(S\) udáva, koľko jednotkových štvorcov sa do útvaru zmestí. Obvod \(o\) je dĺžka hranice útvaru.

Na čo to slúži

Obsahy sa počítajú pri úlohách o pozemkoch, dlažbách, pravdepodobnosti (pomer obsahov) a pri odvodzovaní objemov telies.

Vzorce

\[S_{\text{štvorec}} = a^2, \quad o = 4a\]
\[S_{\text{obdĺžnik}} = a\cdot b, \quad o = 2(a+b)\]
\[S_{\text{trojuholník}} = \dfrac{a\cdot v_a}{2}\]
\[S_{\text{rovnobežník}} = a\cdot v_a\]
\[S_{\text{lichobežník}} = \dfrac{(a+c)\cdot v}{2}\]
\[S_{\text{kosoštvorec}} = \dfrac{u_1 \cdot u_2}{2}\]
\[S_{\text{kruh}} = \pi r^2, \quad o = 2\pi r\]
\[S_{\text{pravidelný šesťuholník}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2\]
Vzorový príklad

Pravidelný šesťuholník má obsah \(360\ \text{cm}^2\). Určte dĺžku jeho strany.

  1. Dosadíme do vzorca: \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2 = 360\).
  2. \(a^2 = \frac{720}{3\sqrt{3}} = \frac{240}{\sqrt{3}} = 80\sqrt{3} \doteq 138{,}56\).
  3. \(a \doteq \sqrt{138{,}56} \doteq 11{,}77\) cm.

Podobnosť trojuholníkov

Planimetria a trigonometria

Čo to je

Dva trojuholníky sú podobné, ak majú rovnaké všetky tri uhly. Potom sú pomery dĺžok zodpovedajúcich si strán rovnaké — tento pomer sa nazýva koeficient podobnosti \(k\).

Na čo to slúži

Používa sa na nepriame meranie výšok a vzdialeností (tieň, zrkadlo, mapa) a na prepočet dĺžok medzi zmenšeninou a skutočnosťou.

Vzorce

\[\dfrac{a'}{a} = \dfrac{b'}{b} = \dfrac{c'}{c} = k\]
\[\dfrac{S'}{S} = k^2\]
\[\dfrac{o'}{o} = k\]
\[k = 1 \Rightarrow \text{trojuholníky sú zhodné}\]
Vzorový príklad

Trojuholníky \(ABC\) a \(A'B'C'\) sú podobné s koeficientom \(k = 2{,}5\). Obsah menšieho je \(12\ \text{cm}^2\). Aký je obsah väčšieho?

  1. Obsahy sú v pomere \(k^2\): \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
  2. \(S' = 12 \cdot 6{,}25 = 75\ \text{cm}^2\).

Goniometrické funkcie v pravouhlom trojuholníku

Planimetria a trigonometria

Čo to je

Goniometrické funkcie priraďujú uhlu pomer dvoch strán pravouhlého trojuholníka. Pomáhajú spojiť uhol s dĺžkou.

Na čo to slúži

Používajú sa všade, kde poznáme uhol a jednu stranu a chceme druhú — pri sklonoch, výškach, vzdialenostiach, ale aj pri rozklade síl vo fyzike.

Vzorce

\[\sin\alpha = \dfrac{\text{protiľahlá odvesna}}{\text{prepona}}\]
\[\cos\alpha = \dfrac{\text{priľahlá odvesna}}{\text{prepona}}\]
\[\tan\alpha = \dfrac{\text{protiľahlá odvesna}}{\text{priľahlá odvesna}}\]
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]
Vzorový príklad

V pravouhlom trojuholníku je prepona \(13\) cm a uhol \(\alpha = 30°\). Vypočítajte protiľahlú odvesnu.

  1. \(\sin\alpha = \frac{a}{c} \Rightarrow a = c\cdot\sin\alpha\).
  2. \(a = 13 \cdot \sin 30° = 13 \cdot 0{,}5 = 6{,}5\) cm.

Sínusová veta

Planimetria a trigonometria

Čo to je

Sínusová veta hovorí, že pomer dĺžky strany a sínusu protiľahlého uhla je v trojuholníku stále rovnaký (a rovná sa priemeru kružnice opísanej).

Na čo to slúži

Používa sa v ľubovoľnom trojuholníku (nielen pravouhlom), keď poznáme dve strany a uhol alebo dva uhly a stranu.

Vzorce

\[\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R\]
\[\text{pozor: najprv dopočítame tretí uhol, lebo } \alpha + \beta + \gamma = 180°\]
Vzorový príklad

V trojuholníku \(ABC\) je \(|AB| = 11\), \(|\angle ABC| = 107°\) a \(|\angle CAB| = 52°\). Vypočítajte výšku na stranu \(AB\).

  1. Dopočítame tretí uhol: \(\gamma = 180° - 107° - 52° = 21°\).
  2. Podľa sínusovej vety: \(\frac{|AC|}{\sin 107°} = \frac{|AB|}{\sin 21°}\), teda \(|AC| = \frac{11\cdot\sin 107°}{\sin 21°}\).
  3. Číselne: \(|AC| \doteq \frac{11\cdot 0{,}9563}{0{,}3584} \doteq 29{,}35\).
  4. Výška na stranu \(AB\): \(v = |AC|\cdot\sin 52° \doteq 29{,}35\cdot 0{,}7880 \doteq 23{,}13\).

Kosínusová veta

Planimetria a trigonometria

Čo to je

Kosínusová veta je zovšeobecnenie Pytagorovej vety na ľubovoľný trojuholník. Ak je uhol pravý, kosínus je nula a zostane len Pytagorova veta.

Na čo to slúži

Používa sa, keď poznáme dve strany a uhol medzi nimi, alebo keď poznáme všetky tri strany a chceme uhol.

Vzorce

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\]
\[\cos\gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]
\[\gamma = 90° \Rightarrow c^2 = a^2 + b^2\]
Vzorový príklad

V trojuholníku je \(a = 7\), \(b = 9\) a uhol medzi nimi \(\gamma = 60°\). Vypočítajte stranu \(c\).

  1. \(c^2 = 7^2 + 9^2 - 2\cdot 7\cdot 9\cdot\cos 60°\).
  2. \(\cos 60° = 0{,}5\), teda \(c^2 = 49 + 81 - 63 = 67\).
  3. \(c = \sqrt{67} \doteq 8{,}19\).

Oblúková miera (radiány)

Planimetria a trigonometria

Čo to je

Radián je uhol, ktorý na kružnici s polomerom \(r\) vytína oblúk dĺžky \(r\). Plný uhol má \(2\pi\) radiánov, teda \(360°\).

Na čo to slúži

V matematike sa uhly v goniometrických funkciách a v riešeniach rovníc udávajú v radiánoch. Prevod medzi stupňami a radiánmi je preto nevyhnutný.

Vzorce

\[180° = \pi \ \text{rad}\]
\[1° = \dfrac{\pi}{180} \ \text{rad}\]
\[1 \ \text{rad} = \dfrac{180°}{\pi} \doteq 57{,}30°\]
Vzorový príklad

Preveďte \(135°\) na radiány a \(\frac{5\pi}{6}\) na stupne.

  1. \(135° = 135\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}\).
  2. \(\frac{5\pi}{6} = \frac{5\cdot 180°}{6} = 150°\).
Stereometria

Objem a povrch telies

Stereometria

Čo to je

Objem \(V\) udáva, koľko jednotkových kociek sa do telesa zmestí. Povrch \(S\) je súčet obsahov všetkých stien telesa.

Na čo to slúži

Počíta sa pri úlohách o nádržiach, bazénoch, obaloch, materiáli na výrobu alebo o hmotnosti (objem krát hustota).

Vzorce

\[V_{\text{kocka}} = a^3, \quad S = 6a^2\]
\[V_{\text{kváder}} = a\,b\,c, \quad S = 2(ab + ac + bc)\]
\[V_{\text{hranol}} = S_p \cdot v\]
\[V_{\text{valec}} = \pi r^2 v, \quad S = 2\pi r(r + v)\]
\[V_{\text{ihlan}} = \dfrac{S_p \cdot v}{3}\]
\[V_{\text{kužeľ}} = \dfrac{\pi r^2 v}{3}, \quad S = \pi r(r + s)\]
\[V_{\text{guľa}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3, \quad S = 4\pi r^2\]
Vzorový príklad

Vypočítajte objem gule opísanej kocke, ak objem gule vpísanej do tejto kocky je \(\frac{256}{3}\pi\).

  1. Guli vpísanej do kocky s hranou \(a\) je polomer \(r = \frac{a}{2}\).
  2. Objem vpísanej gule: \(\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{\pi a^3}{6} = \frac{256\pi}{3}\), teda \(a^3 = 512\) a \(a = 8\).
  3. Guli opísanej kocke je polomer \(R = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\).
  4. Objem opísanej gule: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi\cdot 192\sqrt{3} = 256\pi\sqrt{3} \doteq 1\,393{,}15\).

Telesová uhlopriečka a uhol v priestore

Stereometria

Čo to je

Telesová uhlopriečka spája dva protiľahlé vrcholy telesa a prechádza vnútrom. Stenová (podstavová) uhlopriečka leží v jednej stene.

Na čo to slúži

Používa sa pri úlohách o uhle uhlopriečky so základňou alebo so stenou — typicky sa najprv spočíta uhlopriečka podstavy a potom sa použije pravouhlý trojuholník.

Vzorce

\[u_{\text{podstava}} = \sqrt{a^2 + b^2}\]
\[u_{\text{telesová}} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\]
\[\tan\alpha = \dfrac{c}{u_{\text{podstava}}} \quad (\text{uhol s podstavou})\]
Vzorový príklad

Kváder vznikol položením piatich zhodných kociek na seba. Určte uhol telesovej uhlopriečky s dolnou podstavou.

  1. Rozmery kvádra sú \(1 \times 1 \times 5\).
  2. Uhlopriečka podstavy: \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
  3. \(\tan\alpha = \frac{5}{\sqrt{2}} \doteq 3{,}5355\).
  4. \(\alpha = \arctan 3{,}5355 \doteq 74{,}21°\).
Analytická geometria

Vzdialenosť bodov a stred úsečky

Analytická geometria

Čo to je

Vzdialenosť dvoch bodov v rovine sa počíta pomocou Pytagorovej vety z rozdielov ich súradníc. Stred úsečky je priemerom súradníc oboch krajných bodov.

Na čo to slúži

Základ analytickej geometrie — používa sa pri dĺžkach strán, obvodoch, pri určovaní stredu kružnice alebo pri dôkazoch o tvaroch útvarov.

Vzorce

\[|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
\[S = \left[\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right]\]
Vzorový príklad

Dané sú body \(A[2;\,-4]\) a \(B[10;\,5]\). Určte stred úsečky \(AB\) a jej dĺžku.

  1. Stred: \(S\left[\frac{2+10}{2};\,\frac{-4+5}{2}\right] = S[6;\,0{,}5]\).
  2. Dĺžka: \(|AB| = \sqrt{(10-2)^2 + (5-(-4))^2} = \sqrt{64 + 81} = \sqrt{145} \doteq 12{,}04\).

Smernica a rovnica priamky

Analytická geometria

Čo to je

Smernica \(k\) udáva, o koľko sa zmení \(y\), keď sa \(x\) zväčší o \(1\). Priamku možno zapísať smernicovým tvarom \(y = kx + q\) alebo všeobecným tvarom \(ax + by + c = 0\).

Na čo to slúži

Používa sa pri úlohách o priamkach, rovnobežkách, kolmiciach, dotyčniciach a uhloch. Zo všeobecnej rovnice vieme smernicu získať okamžite.

Vzorce

\[k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
\[y = kx + q\]
\[ax + by + c = 0 \Rightarrow k = -\dfrac{a}{b}\]
\[\text{rovnobežky: } k_1 = k_2\]
\[\text{kolmice: } k_1 \cdot k_2 = -1\]
Vzorový príklad

Dané sú priamky \(s: x - 4y - 1 = 0\) a \(t: x - y - 2 = 0\). Určte ich smernice.

  1. Priamku \(s\) upravíme: \(4y = x - 1 \Rightarrow y = \frac{x-1}{4}\), teda \(k_s = 0{,}25\).
  2. Priamku \(t\) upravíme: \(y = x - 2\), teda \(k_t = 1\).
  3. Keďže \(k_s \neq k_t\) a \(k_s\cdot k_t = 0{,}25 \neq -1\), priamky nie sú ani rovnobežné, ani kolmé.

Uhol dvoch priamok

Analytická geometria

Čo to je

Uhol dvoch priamok je najmenší uhol, ktorý tieto priamky zvierajú. Počíta sa zo smerníc oboch priamok pomocou funkcie tangens.

Na čo to slúži

Používa sa pri úlohách o sklonoch, odchýlkach a pri dôkazoch, či sú priamky rovnobežné (\(0°\)) alebo kolmé (\(90°\)).

Vzorce

\[\tan\varphi = \left|\dfrac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|\]
\[\varphi \in \langle 0°;\,90°\rangle\]
\[1 + k_1 k_2 = 0 \Rightarrow \text{priamky sú kolmé}\]
Vzorový príklad

Vypočítajte uhol priamok \(s: x - 4y - 1 = 0\) a \(t: x - y - 2 = 0\).

  1. Zo smernicových tvarov: \(k_s = 0{,}25\), \(k_t = 1\).
  2. \(\tan\varphi = \left|\frac{1 - 0{,}25}{1 + 0{,}25}\right| = \frac{0{,}75}{1{,}25} = 0{,}6\).
  3. \(\varphi = \arctan 0{,}6 \doteq 30{,}96°\).

Vzdialenosť bodu od priamky

Analytická geometria

Čo to je

Vzdialenosť bodu od priamky je dĺžka najkratšej úsečky spájajúcej bod s priamkou — teda kolmice. Počíta sa dosadením súradníc bodu do všeobecnej rovnice priamky.

Na čo to slúži

Používa sa pri úlohách o dotyčniciach ku kružnici (vzdialenosť stredu od priamky sa rovná polomeru), o výškach trojuholníka a o rovnobežkách.

Vzorce

\[v = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]
\[\text{dotyčnica ku kružnici} \iff v = r\]
\[\text{sečnica} \iff v < r, \quad \text{nesečnica} \iff v > r\]
Vzorový príklad

Priamka \(p: ax - y + 1 = 0\) je dotyčnicou kružnice so stredom \(S[5;\,0]\) a polomerom \(3\), pričom \(a > 0\). Určte \(a\).

  1. Vzdialenosť stredu od priamky sa rovná polomeru: \(\frac{|a\cdot 5 - 0 + 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 3\).
  2. Keďže \(a > 0\), čitateľ je \(5a + 1\): \(\frac{5a + 1}{\sqrt{a^2+1}} = 3\).
  3. Umocníme: \((5a+1)^2 = 9(a^2 + 1) \Rightarrow 25a^2 + 10a + 1 = 9a^2 + 9\).
  4. \(16a^2 + 10a - 8 = 0 \Rightarrow 8a^2 + 5a - 4 = 0\), odkiaľ \(a = 0{,}75\).

Kružnica a dotyčnica

Analytická geometria

Čo to je

Kružnica je množina všetkých bodov roviny, ktoré majú od stredu \(S[m;\,n]\) rovnakú vzdialenosť \(r\) — polomer.

Na čo to slúži

Kružnica sa objavuje v úlohách o dotyčniciach, o vzájomnej polohe priamky a kružnice a o útvaroch opísaných alebo vpísaných.

Vzorce

\[(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2\]
\[\text{obvod } o = 2\pi r, \quad \text{obsah } S = \pi r^2\]
\[\text{dotyčnica je kolmá na polomer v bode dotyku}\]
Vzorový príklad

Napíšte rovnicu kružnice so stredom \(S[3;\,-2]\) a polomerom \(5\).

  1. Dosadíme do stredového tvaru: \((x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 5^2\).
  2. Výsledok: \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25\).
  3. Roznásobením dostaneme všeobecný tvar \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\).
Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika

Faktoriál

Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika

Čo to je

Faktoriál \(n!\) je súčin všetkých prirodzených čísel od \(1\) po \(n\). Platí aj \(0! = 1\).

Na čo to slúži

Používa sa na počítanie, koľkými spôsobmi možno usporiadať predmety (permutácie), a je súčasťou vzorca pre kombinačné číslo.

Vzorce

\[n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot 1\]
\[0! = 1\]
\[n! = n\cdot(n-1)!\]
\[5! = 120\]
Vzorový príklad

Vypočítajte \(\frac{6!}{4!}\).

  1. \(6! = 720\), \(4! = 24\).
  2. \(\frac{720}{24} = 30\).
  3. Rýchlejšie: \(\frac{6!}{4!} = 6\cdot 5 = 30\).

Kombinačné číslo

Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika

Čo to je

Kombinačné číslo \(\binom{n}{k}\) udáva, koľkými spôsobmi možno vybrať \(k\) prvkov z \(n\) prvkov, pričom ne záleží na poradí.

Na čo to slúži

Používa sa pri počítaní dvojíc, trojíc, tímov, komisií, ale aj pri pravdepodobnosti, kde v menovateli aj čitateli vystupujú počty výberov.

Vzorce

\[\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\]
\[\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\]
\[\binom{n}{1} = n\]
\[\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\]
Vzorový príklad

Vypočítajte \(\binom{18}{2}\).

  1. \(\binom{18}{2} = \frac{18!}{2!\,16!} = \frac{18\cdot 17}{2}\).
  2. \(= \frac{306}{2} = 153\).
  3. Z \(18\) predmetov možno vybrať dvojicu \(153\) spôsobmi.

Variácie, kombinácie a permutácie

Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika

Čo to je

Rozhodujúce je, či záleží na poradí. Ak áno, ide o variácie (prípadne permutácie, ak vyberáme všetky prvky). Ak nie, ide o kombinácie.

Na čo to slúži

Podľa toho sa vyberá vzorec. Zámena variácií a kombinácií je najčastejšia chyba v kombinatorike.

Vzorce

\[V(n,k) = \dfrac{n!}{(n-k)!} \quad \text{(poradie záleží)}\]
\[C(n,k) = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} \quad \text{(poradie nezáleží)}\]
\[P(n) = n! \quad \text{(usporiadanie všetkých } n \text{ prvkov)}\]
Vzorový príklad

V triede je \(18\) žiakov, z toho \(10\) dievčat a \(8\) chlapcov. Vyberáme dvojicu. Koľko dvojíc je jednofarebných?

  1. Všetky dvojice: \(\binom{18}{2} = 153\).
  2. Dvojice dievčat: \(\binom{10}{2} = 45\). Dvojice chlapcov: \(\binom{8}{2} = 28\).
  3. Jednofarebných dvojíc je \(45 + 28 = 73\).

Pravdepodobnosť

Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika

Čo to je

Pravdepodobnosť \(P(A)\) náhodného javu \(A\) je číslo z intervalu \(\langle 0;\,1\rangle\). Pri rovnako pravdepodobných výsledkoch je to podiel počtu priaznivých výsledkov k počtu všetkých výsledkov.

Na čo to slúži

Používa sa pri hrách, lotériách, odhadoch rizika a v štatistike. Často sa počíta aj geometricky — ako pomer obsahov alebo dĺžok.

Vzorce

\[P(A) = \dfrac{m}{n} \quad \text{(priaznivé / všetky)}\]
\[0 \leq P(A) \leq 1\]
\[P(\text{istý jav}) = 1, \quad P(\text{nesplniteľný}) = 0\]
\[P(\overline{A}) = 1 - P(A)\]
Vzorový príklad

V osudí je \(10\) jednofarebných a \(8\) vzorovaných loptičiek. Náhodne vyberieme dvojicu. Aká je pravdepodobnosť, že bude jednofarebná?

  1. Všetky dvojice: \(\binom{18}{2} = 153\).
  2. Jednofarebné dvojice: \(\binom{10}{2} = 45\).
  3. \(P = \frac{45}{153} = \frac{5}{17} \doteq 0{,}29\).

Aritmetický priemer

Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika

Čo to je

Aritmetický priemer je súčet všetkých hodnôt vydelený ich počtom. Vyjadruje „typickú“ hodnotu súboru.

Na čo to slúži

Používa sa v štatistike, v známkovaní, v úlohách o priemerných hodnotách a na výpočet neznámej hodnoty, ak je zadaný požadovaný priemer.

Vzorce

\[\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\]
\[\text{súčet} = \bar{x}\cdot n\]
Vzorový príklad

Súbor \(A = \{5, 7, 6, 7, 8, 7, 6, x\}\) má priemer o \(3\) väčší ako modus. Určte \(x\).

  1. Modus je najčastejšia hodnota — číslo \(7\) sa vyskytuje trikrát, teda modus je \(7\).
  2. Priemer má byť \(7 + 3 = 10\).
  3. Súčet známych hodnôt je \(46\), a tak \(\frac{46 + x}{8} = 10\).
  4. \(46 + x = 80 \Rightarrow x = 34\).

Medián a modus

Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika

Čo to je

Medián je stredná hodnota súboru usporiadaného podľa veľkosti (pri párnom počte je to priemer dvoch stredných hodnôt). Modus je najčastejšie sa vyskytujúca hodnota.

Na čo to slúži

Na rozdiel od priemeru nie sú tieto hodnoty skreslené extrémnymi číslami — používajú sa napríklad pri platoch alebo pri hodnotení známok.

Vzorce

\[\text{medián} = \begin{cases} x_{\frac{n+1}{2}} & n \text{ nepárne} \\ \dfrac{x_{\frac n2} + x_{\frac n2 + 1}}{2} & n \text{ párne} \end{cases}\]
\[\text{modus} = \text{hodnota s najväčšou početnosťou}\]
Vzorový príklad

Určte medián a modus súboru \(3,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9,\ 10\).

  1. Súbor je už usporiadaný, \(n = 6\) (párne).
  2. Medián: \(\frac{5 + 7}{2} = 6\).
  3. Modus: hodnota \(5\) sa vyskytuje dvakrát, ostatné raz — modus je \(5\).

Rozptyl a smerodajná odchýlka

Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika

Čo to je

Rozptyl a smerodajná odchýlka merajú, ako veľmi sa hodnoty súboru rozptýlili okolo priemeru. Smerodajná odchýlka je odmocnina z rozptylu.

Na čo to slúži

Používajú sa v štatistike na porovnanie stability — napríklad či je výroba rovnomerná alebo či sú výsledky vyrovnané.

Vzorce

\[\sigma^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2\]
\[\sigma = \sqrt{\sigma^2}\]
\[\text{čím menšia } \sigma, \text{ tým sú hodnoty bližšie k priemeru}\]
Vzorový príklad

Určte rozptyl súboru \(2,\ 4,\ 6\).

  1. Priemer: \(\bar{x} = \frac{2+4+6}{3} = 4\).
  2. Odchýlky: \(-2,\ 0,\ 2\); ich druhé mocniny: \(4,\ 0,\ 4\).
  3. Rozptyl: \(\sigma^2 = \frac{4+0+4}{3} = \frac{8}{3} \doteq 2{,}67\).
  4. Smerodajná odchýlka: \(\sigma \doteq 1{,}63\).